Question

【题目】已知函数 ．
（1）判断并证明函数f（x）在其定义域上的奇偶性；
（2）证明函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数 ．

∴a+1=2，∴a=1，

∴ ，

∴f（x）的定义域{x|x≠0}关于原点对称，

∴ ，

∴f（x）是定义域上的奇函数

（2）证明：任取x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，

则 ，

∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，

又x1，x2∈（1，+∞），

∴x1x2＞1x1x2﹣1＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

∴函数f（x）在（1，+∞）上是增函数

【解析】（1）由f（1）=2求出a的值，得f（x）的解析式，从而判定f（x）的奇偶性．（2）用单调性定义证明f（x）在（1，+∞）上的增减性．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数单调性的判断方法(单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较)，还要掌握函数的奇偶性(偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称)的相关知识才是答题的关键．