Question

【题目】已知椭圆C： 的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值，并求此时直线l的方程．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：（1）由离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为可得从而求得的值，进而可得求椭圆的方程；（2）直线的方程为，由点到直线距离公式可得与椭圆方程联立可得，再根据弦长公式可得，从而可得，进而可得△面积的最大值.

试题解析：（1）设椭圆的半焦距为，依题意∴，

∴所求椭圆方程为．

（2）设， ，

①当⊥轴时， 为，代入，得，∴；

②当与轴不垂直时，设直线的方程为，

由已知，得，

把代入椭圆方程，整理，

， ， ，

∴ ，

当时， ；

当时，，

当且仅当，即时等号成立．

综上所述．

∴当最大时，△面积取最大值．