Question

【题目】已知数列{an}的前n项和Sn＝4n，数列{bn}满足b1＝－3，

bn＋1＝bn＋(2n－3)(n∈N*)．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{bn}的通项公式；

(3)若cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.

Answer 1

【答案】(1) 当n＝1时an＝4， 当 n≥2时，an＝3×4n-1. (2) bn＝n2－4n(n∈N*)．(3)Tn＝［4+(3n-13)×4n］/3

【解析】试题分析：（1）利用Sn与an的关系求出数列{an}的通项公式；（2）利用累加法求出数列{bn}的通项公式；（3）利用错位相减法求出数列{cn}的前n项和Tn.

试题解析：

解：(1)∵Sn＝4n，∴Sn－1＝4n－1(n≥2)，

∴an＝Sn－Sn－1＝4n－4n－1＝3×4n－1(n≥2)．

当n＝1时，3×41－1＝3≠S1＝a1＝4，

∴当n＝1时an＝4， 当 n≥2时，an＝3×4n-1.

(2)∵bn＋1＝bn＋(2n－3)，

∴b2－b1＝-1，b3－b2＝1，b4－b3＝3，…，bn－bn－1＝2n－5(n≥2)．

以上各式相加得

bn－b1＝-1+1＋3＋5＋…＋(2n－5)＝（n-1）(n-3)(n≥2)．

∵b1＝－3，∴bn＝n2－4n(n≥2)．

又上式对于n＝1也成立，

∴bn＝n2－4n(n∈N*)．

(3)由题意得当n=1时，cn＝-12， 当n≥2时，cn＝3(n－4)×4n-1.

①当n=1时, Tn＝-12

②当n≥2时，Tn＝－12＋3×（-2）×41＋3×（-1）×42＋3×1×43＋…＋3(2n－3)×4n－1，

∴4Tn＝－48＋3×（-2）×42＋3×（-1）×43＋3×1×44＋…＋3(2n－3)×4n.

相减得－3Tn＝12＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－1－3(2n－3)×4n.

∴Tn＝(n-4)×4n－(4＋42＋43＋…＋4n－1)＝［4+(3n-13)×4n］/3

又上式对于n＝1也成立，

∴综上Tn＝［4+(3n-13)×4n］/3