Question

【题目】

已知数列{an}的各项均为正数，记数列{an}的前n项和为Sn，数列{an2}的前n项和为Tn，且3Tn＝Sn2＋2Sn，n∈N*．

（Ⅰ）求a1的值；

（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅲ）若k，t∈N*，且S1，Sk－S1，St－Sk成等比数列，求k和t的值．

Answer 1

【答案】（1）1（2）an＝2n－1，n∈N*(3) k＝2，t＝3

【解析】试题分析：（1）由，得，解方程即可得结果；（2）因为，两式相减可得再得，再相减可得是等差数列，从而可得结果；(3)由(2)可知，根据成等比数列可得，只需证明以上等式无整数解即可.

试题解析：（1）由3T1＝S12＋2S1，得3a12＝a12＋2a1，即a12－a1＝0．

因为a1＞0，所以a1＝1．

（2）因为3Tn＝Sn2＋2Sn， ①

所以3Tn＋1＝Sn＋12＋2Sn＋1，②

②－①，得3an＋12＝Sn＋12－Sn2＋2an＋1．

因为an＋1＞0，

所以3an＋1＝Sn＋1＋Sn＋2， ③

所以3an＋2=Sn＋2＋Sn＋1＋2，④

④－③，得3an＋2－3an＋1＝an＋2＋an＋1，即an＋2＝2an＋1，

所以当n≥2时，＝2．

又由3T2＝S22＋2S2，得3(1＋a22)＝(1＋a2)2＋2(1＋a2)，

即a22－2a2＝0．

因为a2＞0，所以a2＝2，所以＝2，所以对n∈N*，都有＝2成立，

所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1，n∈N*．

(3)由(2)可知Sn＝2n－1．

因为S1，Sk－S1，St－Sk成等比数列，

所以(Sk－S1)2＝S1(St－Sk)，即(2k－2)2＝2t－2k，

所以2t＝(2k)2－32k＋4，即2t－2＝(2k－1)2－32k－2＋1(*)．

由于Sk－S1≠0，所以k≠1，即k≥2．

当k＝2时，2t＝8，得t＝3．

当k≥3时，由(*)，得(2k－1)2－32k－2＋1为奇数，

所以t－2＝0，即t＝2，代入(*)得22k－2－32k－2＝0，即2k＝3，此时k无正整数解．

综上，k＝2，t＝3．