Question

【题目】如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP＝AB＝AD＝1．

（Ⅰ）若直线PB与CD所成角的大小为，求BC的长；

（Ⅱ）求二面角B－PD－A的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）2（2）

【解析】试题分析：（1）以为单位正交基底，建立空间直角坐标系．设，则，利用空间向量夹角余弦公式列方程求解即可；（2）分别求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.

试题解析：以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz．

因为AP＝AB＝AD＝1，所以A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)．设C(1，y，0)，则＝(1，0，－1)，＝(－1，1－y，0)． …………………2分

因为直线PB与CD所成角大小为，

所以|cos＜，＞|＝||＝，

即＝，解得y＝2或y＝0（舍），

所以C(1，2，0)，所以BC的长为2．

（2）设平面PBD的一个法向量为n1＝(x，y，z)．

因为＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，

则即

令x＝1，则y＝1，z＝1，所以n1＝(1，1，1)．

因为平面PAD的一个法向量为n2＝(1，0，0)，

所以cos＜n1，n2＞＝＝，

所以，由图可知二面角B－PD－A的余弦值为．