Question

【题目】如图，在三棱柱中， ，顶点在底面 上的射影恰为点 ，且.

（1）求棱 与所成的角的大小；

（2）在棱 上确定一点，使，并求出二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，（1）求出与，所在直线的向量，利用向量的夹角公式即可求出结果，再根据异面直线成角的范围，即可求出结果；（2）平面和平面的法向量分别为m和n，即可求出二面角的平面角的余弦值．

试题解析：解（1）建立如图所示的空间直角坐标系，

则C（0, 2, 0），B（2, 0 , 0），A1（0,－2, 2），B1（4, 0 , 2）．从而， ＝（0,－2, 2），＝（－2, 2, 0）．

记与的夹角为θ，则有．

又由异面直线AA1与BC所成角的范围为（0，π），可得异面直线AA1与BC所成的角

为60． 4分

（2）记平面和平面的法向量分别为m和n，则由题设可令m＝（x, y, z），且有平面的法向量为n＝（0,2,0）．

设＝（－2λ, 2λ, 0），则P（4－2λ, 2λ, 2）．

于是AP＝，解得λ＝或λ＝．

又题设可知λ∈（0, 1），则λ＝舍去，故有λ＝．

从而，P为棱的中点，则坐标为P（3, 1, 2）．

由平面PAB的法向量为m，故m⊥且m⊥．

由m·＝0，即（x, y, z）·（3, 1 ,2）＝0，解得3x＋y＋2z＝0； ①

由m·＝0，即（x, y, z）·（－1,－1,－2）＝0，解得－x－y－2z＝0，②

解方程①、②可得，x＝0，y＋2z＝0，令y＝－2，z＝1，

则有m＝（0,－2, 1） ．

记平面PAB和平面ABA1所成的角为β，

则cosβ＝＝

故二面角的平面角的余弦值是．