Question

【题目】已知在极坐标系中点C的极坐标为.

(1)求出以点C为圆心，半径为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形；

(2)在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(5，－)，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】(1)如图，设圆C上任意一点A(ρ，θ)，则∠AOC＝θ－或－θ.

由余弦定理得，AC2＝OA2＋OC2－2OA·OCcos，

即4＋ρ2－4ρcos＝4.

∴圆C的极坐标方程ρ＝4cos.

(2)在直角坐标系中，点C的坐标为(1，)，可设圆C上任意一点P(1＋2cos α，＋2sin α)，又令M(x，y)，

∵Q(5，－)，M是线段PQ的中点．

∴M的参数方程为

即 (α为参数)．

∴点M的轨迹的普通方程为(x－3)2＋y2＝1.