Question

【题目】一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元，设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完，每万件的销售收入为4﹣x万元，且每万件国家给予补助2e﹣ ﹣ 万元．（e为自然对数的底数，e是一个常数）
（1）写出月利润f（x）（万元）关于月产量x（万件）的函数解析式
（2）当月产量在[1，2e]万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生成量值（万件）．（注：月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本）

Answer 1

【答案】
（1）解：由于：月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本，可得

（2）解：f（x）=﹣x2+2（e+1）x﹣2elnx﹣2的定义域为[1，2e]，

且

列表如下：

x	（1，e）	e	（e，2e]
f'（x）	+	0	﹣
f（x）	增	极大值f（e）	减

由上表得：f（x）=﹣x2+2（e+1）x﹣2elnx﹣2在定义域[1，2e]上的最大值为f（e）．

且f（e）=e2﹣2．即：月生产量在[1，2e]万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为f（e）=e2﹣2，此时的月生产量值为e（万件）．

【解析】（1）由月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本，即可列出函数关系式；（2）利用导数判断函数的单调性，进而求出函数的最大值．