Question

【题目】【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—1：几何证明选讲

如图，△ABC的顶点A，C在圆O上，B在圆外，线段AB与圆O交于点M．

（1）若BC是圆O的切线，且AB＝8，BC＝4，求线段AM的长度；

（2）若线段BC与圆O交于另一点N，且AB＝2AC，求证：BN＝2MN．

B．选修4—2：矩阵与变换

设a，b∈R．若直线l：ax＋y－7＝0在矩阵A= 对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x＋y－91＝0．求实数a，b的值．

C．选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，直线l： (t为参数)，与曲线C： (k为参数)交于A，B两点，求线段AB的长．

D．选修4—5：不等式选讲

设a≠b，求证：a4＋6a2b2＋b4＞4ab(a2＋b2)．

Answer 1

【答案】见解析.

试题分析：作差比较，化简得出原式=，即可作出证明。

试题解析：

证明： a4＋6a2b2＋b4－4ab(a2＋b2)＝(a2＋b2)2－4ab(a2＋b2)＋4a2b2

＝(a2＋b2－2ab)2＝(a－b)4．

因为a≠b，所以(a－b)4＞0， 所以a4＋6a2b2＋b4＞4ab(a2＋b2)．

【解析】试题分析：（1）因为是圆的切线，故由切割线定理得，设 ，列出方程，即可求解的值，得到的长；

（2）根据和相似，列出比例关系式，即可得出证明。

试题解析：

解：（1）因为BC是圆O的切线，故由切割线定理得BC2＝BM·BA．

设AM＝t，因为AB＝8，BC＝4，

所以42＝8(8－t)，解得t＝6 ，即线段AM的长度为6．

（2）因为四边形AMNC为圆内接四边形，所以∠A＝∠MNB．又∠B＝∠B，所以△BMN∽△BCA，

所以＝．

因为AB＝2AC，所以BN＝2MN．

B．选修4—2：矩阵与变换

设a，b∈R．若直线l：ax＋y－7＝0在矩阵A= 对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x＋y－91＝0．求实数a，b的值．