Question

【题目】某食品厂定期购买面粉．已知该厂每天需用面粉6t，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．
（1）求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
（2）若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210t时，其价格可享受9折优惠（即原价的90%），问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设该厂应每x天购买一次面粉，其购买量为6xt，由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x+6（x﹣1）+…+6×2+6×1]=9x（x+1）．

设平均每天所支付的总费用为y1元，则y1= [9x（x+1）+900]+6×1800

= +9x+10809≥2 +10809

=10989．

当且仅当9x= ，即x=10时取等号，

即该厂应每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少

（2）解：若厂家利用此优惠条件，则至少每隔35天，购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2元，则

y2= [9x（x+1）+900]+6×1800×0.90

= +9x+9729（x≥35）．

令f（x）=x+ （x≥35），

x2＞x1≥35，则

f（x1）﹣f（x2）=（x1+ ）﹣（x2+ ）

=

∵x2＞x1≥35，

∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，100﹣x1x2＜0．

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2），

即f（x）=x+ ，当x≥35时为增函数．

∴当x=35时，f（x）有最小值，此时y2＜10989．∴该厂应该接受此优惠条件

【解析】（1）每天所支付的费用是每x天购买粉的费用与保存面粉的费用及每次支付运费和的平均数，故可以设x天购买一次面粉，将平均数表示成x的函数，根据所得的函数的具体形式求其最小值即可．（2）每天费用计算的方式与（1）相同，故设隔x天购买一次面粉，将每天的费用表示成x的函数，由于此时等号成立的条件不具备，故本题最值需要通过函数的单调性来探究．本题中函数的单调性的证明用定义法证明，获知其单调性后利用单调性求出最小值，然后用函数的最小值与（1）中的最小值对比，若比其小，则可利用此优惠条件，否则仍采用原来方案．