Question

【题目】在四棱柱中，底面为矩形，面⊥平面，===，=2，是的中点．

（Ⅰ）求证：⊥；

（Ⅱ）求BD与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）∵PD=PC，E为CD的中点，∴PE⊥CD，

∵平面PCD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，

∴PE⊥AC，（2分）

在Rt△BCE和Rt△ABC中，，∠ABC=∠BCE=90°，

∴Rt△BCE∽Rt△ABC，（4分）

∴∠BAC=∠CBE，∠ACB=∠BEC，

∴∠EBC+∠ACB=∠CAB+∠ACB=90°，

∴BE⊥CA，（5分）

∵BE∩PE=E，

∴AC⊥平面PBE，

∴AC⊥PB；（6分）

（Ⅱ）以E为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则P（0,0,1），C（1,0,0），，,，则，，，（8分）

设平面的法向量为，则，取=，则=0，=－2，∴=（0，，-2），（10分）

设BD与平面所成角为，

则===，（11分）

∴BD与平面所成角的正弦值为．（12分）