Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求的单调区间.

（2）试问：是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为 （2）存在实数，使得对恒成立

【解析】

（1）当时，得，求得，进而求解函数的单调区间；

（2）假设存在实数，使得对恒成立，利用导数求得函数的单调性和最值，分类讨论，即可求解。

（1）当时，，，

当时，；

当时，.

故的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2），.

假设存在实数，使得对恒成立.

当时，对恒成立，则在上单调递减，

从而，又，则.

当时，对恒成立，则在上单调递增，

从而，又，所以.

当时，令，得，

若，；若，.

从而，则.

令，则，易知在上单调递增，

则，从而不可能成立.

综上，存在实数，使得对恒成立.