Question

【题目】如图，在四棱锥中，，，，，，，平面，点在棱上.

（1）求证：平面平面；

（2）若直线平面，求此时三棱椎的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）利用正弦定理和三角形的内角和定理证得，结合，利用线面垂直的判定定理证得平面，再由面面垂直的判定定理即可证明；

（2）如图所示，连接交于，连接，可证明~,,由，作于点，可证平面，代入题中的数据进行计算，即可求出的体积.

（1）证明：因为平面，所以，

因为，，，

由正弦定理可得，，解得，

所以，，即，

因为，所以平面，因为平面，

所以平面平面.

（2）如图：连接交于，连接，

因为直线平面，过的平面与平面的交线为，

由线面平行的性质定理可得，，

在梯形中，因为，，，

所以~，即，

因为，所以，

∴，即，

作于点，因为平面，

所以，因为，

所以平面，

在中，由（1）知，，，，

所以，

所以，

所以即为所求.