Question

【题目】已知椭圆：的离心率为，且经过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线交椭圆于，两点，若点关于轴的对称点为，证明直线过定点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据离心率得到之间的关系，把点代入椭圆方程即可求解；

（2）分直线的斜率存在和不存在两种情况进行证明：当不垂直于轴时，设直线：与椭圆方程联立，设，，则，利用韦达定理进行证明即可；当垂直于轴时，即轴，过.

（1）由题意，，∴，

所以椭圆的方程为，

把点代入椭圆的方程可得，

∴所求椭圆的方程为.

（2）证明：当不垂直于轴时，设直线：

联立方程，可得，

由可得，，

设，，则，，

由韦达定理可得，，

∴直线的方程为：，

令，

。

∴直线过定点，

当垂直于轴时，即轴，过.

综上可知，直线过定点.