Question

【题目】已知数列中，，且对任意正整数都成立，数列的前项和为.

（1）若，且，求；

（2）是否存在实数k，使数列是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由；

（3）若，求.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 满足要求的实数有且仅有一个，；(3) ．

【解析】

（1）先根据等差中项判定数列类型，再求解的值；（2）假设存在满足后，先计算通项公式，再考虑相邻三项排列后成等差数然后计算的值，注意分类；（3）先化简递推公式，根据递推公式进行奇偶分项讨论.

(1)时，，，

所以数列是等差数列，

此时首项，公差，

数列的前项和是，

故，得；

(2)设数列是等比数列，则它的公比，

所以，，，

①若为等差中项，则，即，

解得，不合题意；

②若为等差中项，则，即，

化简得：，

解得,（舍去）；；

③若为等差中项，则，即，

化简得：，解得；；

综上可得，满足要求的实数有且仅有一个，；

(3)则，

，，

当是偶数时，

，

当是奇数时，

，也适合上式，

综上可得，．