Question

【题目】如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，，为的中点，.

（1）求证：；

（2）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查线面垂直的判定、二面角的求解等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力和逻辑推理能力.第一问，利用面面垂直的性质先得到线面垂直 平面，从而得到线线垂直，利用线面垂直的判定得平面，最后利用性质定理得到；第二问，法一：利用线面及三角形相似等知识判断出为直线与平面所成的角，再在三角形中利用余弦定理解题；法二：利用向量法先建立空间直角坐标系，利用夹角公式计算二面角的余弦值.

试题解析：（Ⅰ）证明：连结,因,为的中点

故.

∵侧面 底面

∴ 平面

∴，

∵，∴平面，

∴，

又∵，故 平面

所以．

（Ⅱ）解法一：在矩形中，由（Ⅰ）得，所以，不妨设则．

∵侧面 底面，底面为矩形

∴平面 平面 ≌

∴为直线与平面所成的角

∴=，=，

∴，∴为等边三角形，

设的中点为，连接，则

在中，过作，交于点，则为二面角的一个平面角。

由于=，，所以在中，，

∵

∴

∴

∴

即二面角的余弦值．

解法二：取的中点，以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．不妨设，则，所以，，，，从而，.

设平面的法向量为，

由，得，

可取．

同理，可取平面的一个法向量为．

于是，

所以二面角的余弦值为．