Question

【题目】如图，已知点分别是Δ的边的中点，连接.现将沿折叠至Δ的位置,连接.记平面 与平面 的交线为 ，二面角大小为.

（1）证明：

（2）证明：

（3）求平面与平面 所成锐二面角大小.

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3） .

【解析】试题分析：（1）由分别是Δ的边的中点，根据三角形中位线定理可得，由线面平行的判定定理可得平面，再利用线面平行的性质定理可得结论；（2）由三角形中位线定理以可判定四边形平行四边形，进而可得四边形为菱形，于是可得， , ，由线面垂直的判定定理可得平面，从而根据面面垂直的判定定理可得结论；（3）作于交于,可知是的中点，折叠后角是二面角的平面角，可证明等腰的底角是平面与平面所成锐二面角的平面角，进而可得结果.

试题解析：（1）证明：因为分别是Δ的边的中点，所以经过的平面与平面的交线为，

又 , .

（2）证明：记

且

,四边形

又 , .

, 则得.

又, .

(3) 过,易知是的中点，

易知折叠后角是二面角的平面角.

,

则可知.

.易知

等腰的底角角是所成锐二面角的平面角，

易知角 .

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理、二面角的求法，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.