Question

【题目】如图，四棱锥中，底面为梯形， 底面， .过作一个平面使得平面.

（1）求平面将四棱锥分成两部分几何体的体积之比；

（2）若平面与平面之间的距离为，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）或.（2）

【解析】试题分析：（1）设平面与直线分别交于，因为平面，所以，可得分别是的中点，根据棱锥的体积公式可得，从而可得平面将四棱锥分成两部分几何体的体积之比；（2）因为两两垂直，以为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量以及平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得直线与平面所成角的正弦值.

试题解析：（1）记平面与直线.

因为，所以.

由已知条件易知，又因.

所以

可得

所以.

即平面将四棱锥分成两部分几何体的体积之比为.

（2）建立直角坐标系，记

则

因为平面的法向量

设 得，

取得平面.

由条件易知点到平面距离.即.

所以.直线与平面所成角满足

【方法点晴】本题主要考查棱锥的体积公式以及利用空间向量线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.