Question

【题目】已知函数f（x）=lnx+x2 ．
（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣3x的极值；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣ax在定义域内为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知，得h（x）=f（x）﹣3x=lnx+x2﹣3x， （x＞0），

令 =0，得x= 或x=1，

∴当x∈（0， ）∪（1，+∞）时，h′（x）＞0，当x∈（ ）时，h′（x）＜0，

∴h（x）在（0， ），（1，+∞）上为增函数，在（ ）上为减函数．

∴h（x）极小值=h（1）=﹣2， ；

（Ⅱ）g（x）=f（x）﹣ax=lnx+x2﹣ax，g′（x）= ，

由题意，知g′（x）≥0（x＞0）恒成立，

即a≤ ．

∵x＞0时，2x+ ，当且仅当x= 时等号成立．

故 ，

∴a ．

【解析】（Ⅰ）由已知得到h（x），求其导函数，解得导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，求得函数的单调区间，进一步求得极值；（Ⅱ）由函数g（x）=f（x）﹣ax在定义域内为增函数，可得g′（x）≥0（x＞0）恒成立，分离参数a，利用基本不等式求得最值得答案．