Question

【题目】已知函数f（x）=ax（lnx﹣1）﹣x2（a∈R）恰有两个极值点x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ． （Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若不等式lnx1+λlnx2＞1+λ恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=ax（lnx﹣1）﹣x2（a∈R）， ∴f′（x）=alnx﹣2x，
依题意得x1 ， x2是alnx﹣2x=0的两个不等正实数根，
∴a≠0， ，
令g（x）= ， ，
当x∈（0，e）时，g′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，且g（1）=0，
当x＞e时，g（x）＞0，
∴0＜ ＜g（e）= ，
解得a＞2e，故实数a的取值范围是（2e，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得alnx1=2x1 ， alnx2=2x2 ，
两式相减，得a（lnx1﹣lnx2）=2（x1﹣x2），a=2 ，
∴lnx1+λlnx2＞1+λ，∴ ＞1+λ，∴2（x1+λx2）＞a（1+λ），
∴x1+λx2＞ ，∴ ＞1+λ，
∴ ＞1+λ，
∵0＜x1＜x2 ， 令t= ∈（0，1），∴ ，
∴（t+λ）lnt﹣（1+λ）（t﹣1）＜0，
令h（t）=（t+λ）lnt﹣（1+λ）（t﹣1），
则h′（t）=lnt+ ﹣λ，
令I（t）=lnt+ ﹣λ，则I′（t）= = ，（t∈（0，1）），
①当λ≥1时，I′（t）＜0，∴h′（t）在（0，1）上单调递减，∴h′（t）＞h′（1）=0，
∴h（t）在（0，1）上单调递增，∴h（t）＜h（1）=0，符合题意．
②当λ≤0时，I′（t）＞0．∴h′（t）在（0，1）上单调递增，∴h′（t）＜h′（1）=0，
∴h′（t）在（0，1）上单调递减，∴h（t）＞h（1）=0，不符合题意
③当0＜λ＜1时，I′（t）＞0，λ＜t＜1，∴h′（t）在（λ，1）上单调递增，
∴h′（t）＜h′（1）=0，
∴h（t）在（λ，1）上单调递减，∴h（t）＞h（1）=0，不符合题意．
综上所述，实数λ的取值范围是[1，+∞）．
【解析】（Ⅰ）求出f′（x）=alnx﹣2x，a≠0， ，令g（x）= ， ，由此利用导数性质能求出实数a的取值范围．（Ⅱ）由（Ⅰ）得alnx1=2x1 ， alnx2=2x2 ， 两式相减，得a（lnx1﹣lnx2）=2（x1﹣x2），a=2 ，从而 ＞1+λ，令t= ∈（0，1），得（t+λ）lnt﹣（1+λ）（t﹣1）＜0，令h（t）=（t+λ）lnt﹣（1+λ）（t﹣1），则h′（t）=lnt+ ﹣λ，令I（t）=lnt+ ﹣λ，则I′（t）= = ，（t∈（0，1）），由此利用分类讨论思想，结合导数性质能求出实数λ的取值范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的极值与导数和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．