Question

【题目】如图，在四棱柱中， 平面,底面为梯形， , ， ，点， 分别为， 的中点.

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在线段上是否存在点，使与平面所成角的正弦值是，若存在，求的长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ） （Ⅲ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）连接，证明四边形是平行四边形. 得到，即可证明平面

（Ⅱ）以为坐标原点，分别以直线， 为轴， 轴建立空间直角坐标系，分别求出面的法向量和面的法向量，即可求出二面角的余弦值；

（Ⅲ）存设点，所以

设与平面所成角为，所以

所以，即可求出的长

试题解析：（Ⅰ）连接，因为点， 分别为， 的中点，

所以， .

所以四边形是平行四边形.

所以

因为平面， 平面，

所以平面

（Ⅱ）因为平面, ，

所以平面.

所以以为坐标原点，分别以直线， 为轴， 轴建立空间直角坐标系，则轴在平面内．

所以， ， ， ，

所以， .

设平面的法向量为，所以即

所以.

设平面的法向量为，

所以

又二面角为锐角，

所以二面角的余弦值是

（Ⅲ）存在. 设点，所以

设与平面所成角为，所以

所以，解得

所以