Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn+n=2an（n∈N*）．

（1）证明：数列{an+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；

（2）若bn=（2n+1）an+2n+1，数列{bn}的前n项和为Tn．求满足不等式＞2010的n的最小值．

Answer 1

【答案】（1）an=2n-1，n∈N*；（2）n的最小值为10.

【解析】试题分析：本题属于基础题.对已知条件，用代替得，两式相减可得，凑配得，由此可证得是等比数列，从而求出通项公式，这是已知数列前项和与项之间关系的一般处理方法；（2）由（1）可得，采用错位相减法可求出其前项和 ，不等式>2 010就转化为，可知n的最小值是10.

试题解析：(1)因为Sn＋n＝2an，所以Sn－1＝2an－1－(n－1)(n≥2，n∈N*)．两式相减，得an＝2an－1＋1.

所以an＋1＝2(an－1＋1)(n≥2，n∈N*)，所以数列{an＋1}为等比数列．

因为Sn＋n＝2an，令n＝1得a1＝1.

a1＋1＝2，所以an＋1＝2n，所以an＝2n－1.

(2)因为bn＝(2n＋1)an＋2n＋1，所以bn＝(2n＋1)·2n.

所以Tn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n， ①

2Tn＝3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1， ②

①－②，得－Tn＝3×2＋2(22＋23＋…＋2n)－(2n＋1)·2n＋1

＝6＋2×－(2n＋1)·2n＋1

＝－2＋2n＋2－(2n＋1)·2n＋1＝－2－(2n－1)·2n＋1.

所以Tn＝2＋(2n－1)·2n＋1.

若>2 010，

则>2 010，即2n＋1>2 010.

由于210＝1 024,211＝2 048，所以n＋1≥11，即n≥10.

所以满足不等式>2 010的n的最小值是10.