Question

【题目】如图所示，一根水平放置的长方体枕木的安全负荷与它的厚度d的平方和宽度a的乘积成正比，与它的长度l的平方成反比．

（1）在a＞d＞0的条件下，将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷会发生变化吗？变大还是变小？
（2）现有一根横截面为半圆（半圆的半径为R= ）的柱形木材，用它截取成横截面为长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度l，问横截面如何截取，可使安全负荷最大？

Answer 1

【答案】
（1）解：设安全负荷为

翻转90°后 ，

可得： ，

当a＞d＞0时， ＜1

此时枕木的安全负荷变大．

（2）解：设截取的宽为a（0＜a＜2 ），高为d， ，∴a2+d2=12

其长度l及k为定值，安全负荷为

令 ，

此时

由g′（a）＜0，可得 ，

∴

所以当宽a=2时，g（a）取得取大值，此时高 ，

所以，当宽a=2，高 时，安全负荷最大

【解析】（1）设安全负荷为 ，求出翻转90°后的表达式，然后求解比值的最大值．（2）设截取的宽为a（0＜a＜2 ），高为d， ，得到安全负荷为
令 ， 利用函数的导数求解最大值即可．