Question

【题目】设抛物线y2=4x的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P，若 ，则弦长|AB|等于（ ）
A.2
B.4
C.6
D.8

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵抛物线方程为y2=4x，
∴2p=4，p=2，可得抛物线的焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1，
设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），直线AB的方程为y=k（x﹣1），
由 消去y，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，
∴x1+x2= ，x1x2=1，
∵过AB的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P，
∴设P的坐标为（x0 ， y0），可得y0= （y1+y2），
∵y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），
∴y1+y2=k（x1+x2）﹣2k=k ﹣2k= ，
得到y0= = ，所以x0= = ，可得P（ ， ）．
∵ ，∴ = ，解之得k2=2，
因此x1+x2= =4，根据抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p=4+2=6．
故选：C