Question

【题目】在四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为平行四边形，平面ABE⊥平面BCDE，AB=AE，DB=DE，∠BAE=∠BDE=90°
（1）求异面直线AB与DE所成角的大小；
（2）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设BE的中点为O，连结AO，DO，

∵AB=AE，BO=OE，∴AO⊥BE，同理DO⊥BE，

又∵平面ABE⊥平面BCDE，

平面ABE∩平面BCDE=BE，

∴AO⊥平面BCDE，

由题意，BE2=2AB2=2DB2，

∴AB=BD=DE=AE，

设AB=1，以B为原点，以BC为x轴，BD为y轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则B（0，0，0），C（1，0，0），D（0，1，0），

E（﹣1，1，0），A（﹣ , ， ），

则 =（ ）， =（﹣1，0，0），

∵cos＜ ， ＞= = =﹣ ，

∴ 与 的夹角为120°，

异面直线AB与DE所成角为60°．

（2）解：设平面ACE的法向量 =（x，y，z），

=（ ）， =（﹣1，1，0），

则 ，取x=1，得 =（1，1，0），

设平面ABE的法向量为 =（a，b，c），

=（ ）， ，

则 ，取a=1，得 =（1，2， ），

设二面角B﹣AE﹣C的平面角为θ，

cosθ=|cos＜ ＞|= = ．

∴二面角B﹣AE﹣C的余弦值为 ．

【解析】（1）设BE的中点为O，连结AO，DO，由已知得AO⊥BE，DO⊥BE，从而AO⊥平面BCDE，设AB=1，以B为原点，以BC为x轴，BD为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB与DE所成角为60°．（2）求出平面ACE的法向量和平面ABE的法向量，由此利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣C的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了异面直线及其所成的角的相关知识点，需要掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系才能正确解答此题．