Question

【题目】如图所示，等腰梯形ABCD的底角A等于60°．直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面 ABCD，∠EDA=90°，且ED=AD=2AF=2AB=2．

（Ⅰ）证明：平面ABE⊥平面EBD；
（Ⅱ）点M在线段EF上，试确定点M的位置，使平面MAB与平面ECD所成的角的余弦值为 ．

Answer 1

【答案】（I）证明：∵平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF=AD，ED⊥AD，ED平面ADEF， ∴ED⊥平面ABCD，∵AB平面ABCD，
∴ED⊥AD，
∵AB=1，AD=2，∠BAD=60°，
∴BD= = ，
∴AB2+BD2=AD2 ， ∴AB⊥BD，
又BD平面BDE，ED平面BDE，BD∩ED=D，
∴AB⊥平面BDE，又AB平面ABE，
∴平面ABE⊥平面EBD．
（II）解：以B为原点，以BA，BD为x轴，y轴建立空间直角坐标系B﹣xyz，
则A（1，0，0），B（0，0，0），C（﹣ ， ，0），D（0， ，0），E（0， ，2），
F（1，0，1），则 =（ ， ，0）， =（0，0，2）， =（1，0，0）， =（1，﹣ ，﹣1），
设 =λ =（λ，﹣ λ，﹣λ）（0≤λ≤1），则 = + =（λ， ﹣ ，2﹣λ），
设平面CDE的法向量为 =（x1 ， y1 ， z1），平面ABM的法向量为 =（x2 ， y2 ， z2），
则 ， ，
∴ ， ，
令y1=1得 =（﹣ ，1，0），令y2=2﹣λ得 =（0，2﹣λ， ），
∴cos＜ ＞= = = ，解得λ= ，
∴当M为EF的中点时，平面MAB与平面ECD所成的角的余弦值为 ．

【解析】（I）计算BD，根据勾股定理逆定理得出AB⊥BD，再根据ED⊥平面ABCD得出ED⊥AB，故而AB⊥平面ADEF，从而平面ABE⊥平面EBD；（II）建立空间坐标系，设 =λ ，求出两平面的法向量，令法向量的夹角余弦值的绝对值等于 ，解出λ即可得出结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解平面与平面垂直的判定(一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直)．