【题目】如图，在多面体中，为等边三角形， ,点为边的中点.

（Ⅰ）求证:平面；

（Ⅱ）求证:平面平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.

参考答案：

【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）见解析； （Ⅲ）.

【解析】

(I)取中点,连结,利用三角形中位线定理可证明是平行四边形，可得，由线面平行的判定定理可得结果；（Ⅱ）先证明，，可得平面 ，从而可得平面，由面面垂直的判定定理可得结果；（Ⅲ）取中点,连结，直线与平面所成角等于直线与平面所成角,

过作,垂足为,连接，为直线与平面所成角，利用直角三角形的性质可得结果.

(I)

取中点,连结

，

是平行四边形，

平面，平面, 平面.

(II) ，

又 平面

平面 ，

又为等边三角形，为边的中点，

平面

由(I)可知， 平面，

平面 平面平面。

(III)

取中点,连结，

所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角,

过作,垂足为,连接.

平面平面 ,平面， 平面.

为斜线在面内的射影，为直线与平面所成角，

在中，

直线与平面所成角的正弦值为.

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