Question

【题目】某农科所发现，一中作物的年收获量y（单位：kg）与它”相近“作物的株数x具有线性相关关系（所谓两株作物”相近“是指它们的直线距离不超过1m），并分别记录了相近作物的株数为1，2，3，5，6，7时，该作物的年收获量的相关数据如下：

X	1	2	3	5	6	7
y	60	55	53	46	45	41

（Ⅰ）求该作物的年收获量y关于它”相近“作物的株数x的线性回归方程；
（Ⅱ）农科所在如图所示的正方形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株该作物，其中每一个小正方形的面积为1，若在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．（注：年收获量以线性回归方程计算所得数据为依据）
附：对于一组数据（x1 ， y1），（x2 ， y2），…，（xn ， yn），其回归直线y=a+bx的斜率和截距的最小二乘估计分别为 = = ， = ﹣ ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）计算 = ×（1+2+3+5+6+7）=4， = ×（60+55+53+46+45+41）=50，
（xi﹣ ）（yi﹣ ）=（﹣3）×10+（﹣2）×5+（﹣1）×3+1×（﹣4）+2×（﹣5）+3×（﹣9）=﹣84，
=（﹣3）2+（﹣2）2+（﹣1）2+12+22+32=28；
∴回归系数为 = = =﹣3，
= ﹣ =50﹣（﹣3）×4=62，
∴该作物的年收获量y关于它”相近“作物的株数x的线性回归方程是 =﹣3x+62；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中回归直线过程知，当x=2时， =﹣3×2+62=56；
当x=3时， =﹣3×3+62=53；
当x=4时， =﹣3×4+62=50；
∴P（y=56）=P（X=2）= = ，
P（Y=53）=P（X=3）= = ，
P（Y=50）=P（X=4）= = ；
∴年收获量Y的分布列

Y	56	53	50
P

数学期望为EY=56× +53× +50× =53．
【解析】（Ⅰ）计算 、 ，求出回归系数，写出回归方程；（Ⅱ）利用回归直线过程，求出x=2、3、4时对应 的值； 计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．