Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面BCP，CD∥平面ABP，AB=BC=CP=BP=2CD=2
（1）证明：平面ABP⊥平面ADP；
（2）若直线PA与平面PCD所成角为α，求sinα的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取AP的中点E，PB的中点F，连结DE，EF，CF，

则EF AB，

∵CD∥平面ABP，CD平面ABCD，平面ABCD∩平面ABP=AB，

∴CD∥AB，又CD= AB，

∴EF CD，

∴四边形DEFC是平行四边形，∴CF∥DE，

∵AB⊥平面BCP，CF平面BCP，

∴AB⊥CF，

∵BC=CP=BP，

∴CF⊥PB，又PB∩AB=B，

∴CF⊥平面ABP，

∴DE⊥平面ABP，又DE平面ADP，

∴平面ABP⊥平面ADP．

（2））解：过P作PP′∥AB，使得PP′=2，延长CD到C′，使得CC′=2，连结AC′，AP′，C′P′，

则直三棱柱PBC﹣P′AC′所有棱长均为2，

取P′C′的中点M，连结AM，则AM⊥平面PCC′P′，

∴∠APM是直线AP与平面PCD所成的角，即∠APM=α，

∵AM= = ，PA= =2 ，

∴sinα=sin∠APM= = = ．

【解析】（1）取AP的中点E，PB的中点F，连结DE，EF，CF，利用平行四边形得出DE∥CF，通过证明CF⊥平面APB得出DE⊥平面PAB，于是平面ABP⊥平面ADP；（2）将几何体补成直三棱柱，作出线面角，从而可求出sinα的值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面垂直的判定的相关知识，掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直，以及对空间角的异面直线所成的角的理解，了解已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．