Question

【题目】已知直线l：与曲线C：（，）交于不同的两点A，B，O为坐标原点.

（1）若，，求证：曲线C是一个圆；

（2）若曲线C过、，是否存在一定点Q，使得为定值？若存在，求出定点Q和定值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，定点，

【解析】

（1）设直线l与曲线C的交点为，，由两点间距离公式及可得，将A，B代入曲线方程，作差化简变形即可证明，因而可知曲线C是一个圆；

（2）由曲线C过、，可得曲线C为椭圆，且求得标准方程，假设存在点 ，设交点为，，联立直线与椭圆，并由韦达定理表示出，,由平面向量数量积的坐标运算，代入化简即可确定所过定点坐标，亦可求得的值.

（1）证明：设直线l与曲线C的交点为，

，

即，

∴

∵A，B在曲线C上，

∴，，

∴两式相减得

∴即,所以，

∴曲线C是一个圆.

（2）由题意知，椭圆C的方程为,

假设存在点 ，设交点为，，

由得，,

，,

直线l：恒过椭圆内定点，故恒成立.

当时，即，时,

故存在定点，不论k为何值，为定值.