Question

【题目】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．
（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；
（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：

年入流量X	40＜X＜80	80≤X≤120	X＞120
发电机最多可运行台数	1	2	3

若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意，p1=P（40＜X＜80）= ， ， ，

由二项分布，未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为

=

（2）解：记水电站的总利润为Y（单位，万元）

①安装1台发电机的情形，

由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=5000，E（Y）=5000×1=5000，

②安装2台发电机的情形，

依题意，当 40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000﹣800=4200，

因此P（Y=4200）=P（40＜X＜80）=p1= ，

当X≥80时，两台发电机运行，此时Y=5000×2=10000，因此，P（Y=10000）=P（X≥80）=P2+P3=0.8，

由此得Y的分布列如下

Y	4200	10000
P	0.2	0.8

所以E（Y）=4200×0.2+10000×0.8=8840．

③安装3台发电机的情形，

依题意，当 40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000﹣1600=3400，

因此P（Y=3400）=P（40＜X＜80）=p1=0.2，

当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y=5000×2﹣800=9200，因此，P（Y=9200）=P（80≤X≤120）=p2=0.7，

当X＞120时，三台发电机运行，此时Y=5000×3=15000，因此，P（Y=15000）=P（X＞120）=p3=0.1，

由此得Y的分布列如下

Y	3400	9200	15000
P	0.2	0.7	0.1

所以E（Y）=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620．

综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．

【解析】（1）先求出年入流量X的概率，根据二项分布，求出未来4年中，至少有1年的年入流量超过120的概率；（2）分三种情况进行讨论，分别求出一台，两台，三台的数学期望，比较即可得到
【考点精析】解答此题的关键在于理解离散型随机变量及其分布列的相关知识，掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．