Question

【题目】如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1 ， A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1 ， BB1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）

（1）当λ=1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；
（2）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴，建立坐标系，则B（2，2，0），C1（0，2，2），E（2，1，0），F（1，0，0），P（0，0，λ），

∴ =（﹣2，0，2）， =（﹣1，0，λ）， =（1，1，0）

λ=1时， =（﹣2，0，2）， =（﹣1，0，1），

∴ =2 ，

∴BC1∥FP，

∵FP平面EFPQ，BC1平面EFPQ，

∴直线BC1∥平面EFPQ；

（2）解：设平面EFPQ的一个法向量为 =（x，y，z），则 ，

∴取 =（λ，﹣λ，1）．

同理可得平面MNPQ的一个法向量为 =（λ﹣2，2﹣λ，1），

若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则

=λ（λ﹣2）﹣λ（2﹣λ）+1=0，∴λ=1± ．

∴存在λ=1± ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．

【解析】（1）建立坐标系，求出 =2 ，可得BC1∥FP，利用线面平行的判定定理，可以证明直线BC1∥平面EFPQ；（2）求出平面EFPQ的一个法向量、平面MNPQ的一个法向量，利用面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，建立方程，即可得出结论．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行即可以解答此题．