Question

【题目】如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD．在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°（其中点P，Q分别在边BC，CD上），设BP=t．
（I）用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值；
（Ⅱ）设探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S（平方百米），求S的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由BP=t，得CP=1﹣t，0≤t≤1，
设∠PAB=θ，
则∠DAQ=45°﹣θ，
DQ=tan（45°﹣θ）=，CQ=1﹣=，
∴PQ===，
∴l=CP+CQ+PQ=1﹣t++=1﹣t+1+t=2，是定值
（Ⅱ）S=S正方形ABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ=1×1﹣×1×t﹣×1×，
=1﹣t﹣=1﹣t﹣（﹣1+），
=1+﹣﹣，
=2﹣（+），
由于1+t＞0，
则S=2﹣（+）≤2﹣2=2﹣，当且仅当=，即t=﹣1时等号成立，
故探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S最多为2﹣平方百米．
【解析】（Ⅰ）由BP=t，得CP=1﹣t，0≤t≤1，设∠PAB=θ，则∠DAQ=45°﹣θ，分别求出CP，CQ，PQ即可得到求出周长l=2，问题得以解决；
（Ⅱ）根据S=S正方形ABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ得到S=2﹣（+），根据基本不等式的性质即可求出S的最大值。