Question

【题目】定义在上的函数满足对任意，，恒有，且不恒为0．

（1）求和的值；

（2）试判断的奇偶性，并加以证明；

（3）若，恒有，求满足不等式的的取值集合．

Answer 1

【答案】(1) ,;(2)详见解析;(3) .

【解析】试题分析：本题为抽象函数问题，解决抽象函数的基本方法有两种：一是赋值法，二是“打回原型”，赋值法是最常用的解题方法，巧妙的赋值可求出函数的特值，本题的第一步就是赋值法，发也可以判断分别给x,y赋值1和就可求出所求函数值，给y赋值可判断函数的奇偶性，利用可以证明函数的单调性，借助函数的奇偶性和单调性以及特殊点特殊值可以模拟出函数的图象，在此基础上可以解不等式.

试题解析：

（1）令，得，∴，

令，得，∴．

（2）令，由可得，

∵，∴，

又不恒为0，∴是偶函数．

（3）若时，恒有 ，此时为增函数，

由，得，

由（2）知，，∴，

又∵在上为增函数，∴，

∴．

∴的取值集合是．