Question

【题目】若函数f(x)满足f(logax)＝·(x－)(其中a＞0且a≠1).

(1)求函数f(x)的解析式，并判断其奇偶性和单调性；

(2)当x∈(－∞，2)时，f(x)－4的值恒为负数，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析．（2）[2－，1)∪(1,2＋]．

【解析】　试题分析：（1）利用换元法求函数解析式，注意换元时元的范围，再根据奇偶性定义判断函数奇偶性，最后根据复合函数单调性性质判断函数单调性（2）不等式恒成立问题一般转化为对应函数最值问题：即f(x)最大值小于4，根据函数单调性确定函数最大值，自在解不等式可得a的取值范围．

试题解析：

(1)令logax＝t(t∈R)，则x＝at，

∴f(t)＝ (at－a－t)．

∴f(x)＝ (ax－a－x)(x∈R)．

∵f(－x)＝ (a－x－ax)＝－ (ax－a－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．

当a＞1时，y＝ax为增函数，y＝－a－x为增函数，且＞0，

∴f(x)为增函数．

当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，y＝－a－x为减函数，且＜0，

∴f(x)为增函数．∴f(x)在R上为增函数．

(2)∵f(x)是R上的增函数，∴y＝f(x)－4也是R上的增函数．

由x＜2，得f(x)＜f(2)，要使f(x)－4在(－∞，2)上恒为负数，

只需f(2)－4≤0，即 (a2－a－2)≤4.

∴ ()≤4，∴a2＋1≤4a，∴a2－4a＋1≤0，

∴2－≤a≤2＋.又a≠1，

∴a的取值范围为[2－，1)∪(1,2＋]．