Question

【题目】已知函数其中是实数．设为该函数图像上的两点，横坐标分别为，且．

（1求的单调区间和极值；

（2）若，函数的图像在点处的切线互相垂直，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为当时，有极小值无极大值；（2）有最大值-1．

【解析】

试题分析：（1）先对函数求导，当导数大于0时单调递增，当导数小于0时单调递减，求方程的根；、检查与方程的根左右值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么在这个根处取得极小值，（2）由，当时，，由函数的图像在点处的切线互相垂直，由已知得，可得的关系式，再利用基本不等式求出有最小值，即可得有最大值

试题解析：（1）

当时，；当时，；当时，，

∴的单调递增区间为和，单调递减区间为．

当时，有极小值无极大值．

（2）当时，，

由已知得，

∴

∴

∵，∴，

∴，当，即时，有最小值1，即有最大值-1