Question

【题目】已知函数f(x)＝ax3－bx2＋(2－b)x＋1在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值，且0＜x1＜1＜x2＜2.

(1)证明：a＞0；

(2)若z＝a＋2b，求z的取值范围.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

(1)证明 求函数f(x)的导数

f′(x)＝ax2－2bx＋2－b.

由函数f(x)在x＝x1处取得极大值，

在x＝x2处取得极小值，

知x1、x2是f′(x)＝0的两个根，

所以f′(x)＝a(x－x1)(x－x2).

当x＜x1时，f(x)为增函数，f′(x)＞0，

由x－x1＜0，x－x2＜0得a＞0.

(2)解 在题设下，0＜x1＜1＜x2＜2等价于

即化简得

此不等式组表示的区域为平面aOb上的三条直线：

2－b＝0，a－3b＋2＝0，4a－5b＋2＝0所围成的△ABC的内部，其三个顶点分别为A，B(2，2)，C(4，2).

z在这三点的值依次为，6，8.

所以z的取值范围为.