Question

【题目】已知，（其中）.

（1）求及；

（2）试比较与的大小，并用数学归纳法给出证明过程.

Answer 1

【答案】（1） ，3n-2n；（2）见解析

【解析】试题分析：

(1)赋值，取x=1，则a0=2n； 取x=2，则∴Sn= 3n-2n；

(2)分别考查的情况，猜想当n≥4时，3n＞（n-1）2n+2n2，然后用数学归纳法证明结论即可.

试题解析：

解：（1）取x=1，则a0=2n；

取x=2，则a0+a1+a2+a3++an=3n，∴Sn=a1+a2+a3++an=3n-2n；

（2）要比较Sn与（n-2）2n+2n2的大小，即比较：3n与（n-1）2n+2n2的大小，

当n=1时，3n＞（n-1）2n+2n2；

当n=2，3时，3n＜（n-1）2n+2n2；

当n=4，5时，3n＞（n-1）2n+2n2

猜想：当n≥4时，3n＞（n-1）2n+2n2，

下面用数学归纳法证明：

由上述过程可知，n=4时结论成立，

假设当n=k，（k≥4）时结论成立，即3k＞（k-1）2k+2k2，

两边同乘以3得：3k+1＞3 [（k-1）2k+2k2]=k2k+1+2（k+1）2+[（k-3）2k+4k2-4k-2]

而（k-3）2k+4k2-4k-2=（k-3）2k+4（k2-k-2）+6=（k-3）2k+4（k-2）（k+1）+6＞0

∴3k+1＞（（k+1）-1）2k+1+2（k+1）2 即n=k+1时结论也成立，

∴当n≥4时，3n＞（n-1）2n+2n2成立．