Question

【题目】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数,）．在以坐标原点为极点轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线

(1)说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；

(2)直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在 上，求.

Answer 1

【答案】(1)圆； ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.(2) a＝1.

【解析】

(1)根据三角函数平方关系消参数得C1的普通方程，再根据x＝ρcos θ，y＝ρsin θ化为极坐标方程，（2）联立极坐标方程解得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，再根据tan θ＝2化简得1－a2＝0，解得a＝1.

(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆．

将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.

(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组，若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由已知tan θ＝2，得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．所以a＝1.