Question

【题目】如图，已知直三棱柱中，，为的中点，，求证： (1)；

(2)∥平面。

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】

（1）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积证明线线垂直，（2）建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量共线证明线线平行，再根据线面平行判定定理得结果.

证明：如图，以C1点为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

设AC＝BC＝BB1＝2，

则A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)。

(1)由于＝(0，－2，－2)，＝(－2,2，－2)，

所以 ＝0－4＋4＝0，

因此⊥，故BC1⊥AB1.

(2)连接A1C，取A1C的中点E，连接DE，由于E(1,0,1)，所以＝(0,1,1)，又＝(0，－2，－2)，

所以＝－，又ED和BC1不共线，

所以ED∥BC1，又DE平面CA1D，

BC1平面CA1D，故BC1∥平面CA1D.