Question

【题目】已知函数g（x）= 是奇函数，f（x）=lg（10x+1）+bx是偶函数．
（1）求a+b的值．
（2）若对任意的t∈[0，+∞），不等式g（t2﹣2t）+g（2t2﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵g（x）= 是定义在R上的奇函数，

∴由g（0）=0得1﹣a=0，得a=1，

则g（x）= ，经检验g（x）是奇函数，

由f（﹣1）=f（1）得lg（10﹣1+1）﹣b=lg（10+1）+b，

即2b=lg（ × ）=lg（ ）=﹣1，

即b=﹣ ，则f（x）=lg（10x+1）﹣ x，经检验f（x）是偶函数

∴a+b=

（2）解：∵g（x）= =2x﹣ ，且g（x）在（﹣∞，+∞）单调递增，且g（x）为奇函数．

∴由g（t2﹣2t）+g（2t2﹣k）＞0恒成立，得

g（t2﹣2t）＞﹣g（2t2﹣k）=g（﹣2t2+k），

∴t2﹣2t＞﹣2t2+k，在t∈[0，+∞）上恒成立

即3t2﹣2t＞k，在t∈[0，+∞）上恒成立

令F（x）=3t2﹣2t，在[0，+∞）的最小值为F（ ）=﹣

∴k＜

【解析】（1）根据函数奇偶性的定义建立方程进行求解即可．（2）根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化求解即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的奇偶性(偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称)，还要掌握函数奇偶性的性质(在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇)的相关知识才是答题的关键．