Question

【题目】已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在（0， ）上无零点，求a最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=1时，f（x）=x﹣1﹣2lnx，

则f′（x）=1﹣ ，由f′（x）＞0，得x＞2，

由f′（x）＜0，得0＜x＜2，

故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）．

（2）解：因为f（x）＜0在区间（0， ）上恒成立不可能，

故要使函数f（x）在（0， ）上无零点，只要对任意的x∈（0， ），f（x）＞0恒成立，

即对x∈（0， ），a＞2﹣ 恒成立．

令l（x）=2﹣ ，x∈（0， ），

则l′（x）= ，

再令m（x）=2lnx+ ﹣2，x∈（0， ），

则m′（x）=﹣ + = ＜0，

故m（x）在（0， ）上为减函数，于是m（x）＞m（ ）=2﹣2ln2＞0，

从而l（x）＞0，于是l（x）在（0， ）上为增函数，

所以l（x）＜l（ ）=2﹣4ln2，

故要使a＞2﹣ 恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），

综上，若函数f（x）在（0， ）上无零点，则a的最小值为2﹣4ln2．

【解析】（1）先求出函数f（x）的导数，再令f′（x）＞0得单调增区间，令f′（x）＜0得单调减区间；（2）先将已知转化为恒成立问题，再利用导数可得函数的单调性，进而可得a的取值范围，从而可得a的最小值．