Question

【题目】某地方政府要将一块如图所示的直角梯形ABCD空地改建为健身娱乐广场.已知AD//BC, 百米， 百米，广场入口P在AB上，且，根据规划，过点P铺设两条相互垂直的笔直小路PM,PN（小路的宽度不计），点M,N分别在边AD,BC上（包含端点），区域拟建为跳舞健身广场， 区域拟建为儿童乐园，其它区域铺设绿化草坪，设.

（1）求绿化草坪面积的最大值；

（2）现拟将两条小路PNM,PN进行不同风格的美化，PM小路的美化费用为每百米1万元，PN小路的美化费用为每百米2万元，试确定M,N的位置，使得小路PM,PN的美化总费用最低，并求出最小费用.

Answer 1

【答案】(1) 绿化草坪面积的最大值为平方百米;(2) 时总美化费用最低为4万元.

【解析】试题分析：（1）先求得

,再利用均值不等式求得正解；（2）先求得 ，

总美化费用为 ，再利用导数工具求得正解.

试题解析：（1）在中， ，得，

所以

由,

在中， ，得，

所以

所以绿化草坪面积

又因为

当且当，即。此时

所以绿化草坪面积的最大值为平方百米.

（2）方法一：在中， ，得，

由,

在中， ，得，

所以总美化费用为

令得列表如下

		-	0	-
		单调递减		单调递增

所以当时，即时总美化费用最低为4万元。

方法二：在中， ，得，

由,

在中， ，得，

所以总美化费用为

令得

所以，

所以在上是单调递减

所以当， 时，即时总美化费用最低为4万元。