Question

【题目】在正方体ABCD-A1B1C1D中，M为DD1的中点，O为AC的中点，AB=2．

（I）求证：BD1∥平面ACM；

（Ⅱ）求证：B1O⊥平面ACM；

（Ⅲ）求三棱锥O-AB1M的体积．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）要证明线面平行，可先证明线线平行，连接BD,MO,根据三角形中位线的平行关系可证明;（Ⅱ）要证明线面垂直，根据判定定理，可证明线与平面内的两条相交直线垂直，即证明和；（Ⅲ）将四面体的体积转化为以三角形当底面，AO是四面体的高的几何体的体积，这样易计算四面体的体积.

试题解析：（I）证明：

连结BD，设BD与AC的交点为O，

∵AC，BD为正方形的对角线，故O为BD中点；

连结MO，

∵O，M分别为DB，DD1的中点，

∴OM∥BD1，…（2分）

∵OM平面ACM，BD1平面ACM…（3分）

∴BD1∥平面ACM． …（4分）

（II）∵AC⊥BD，DD1⊥平面ABCD，且AC平面ABCD，

∴AC⊥DD1；且BD∩DD1=D，∴AC⊥平面BDD1B1…（6分）

OB1平面BDD1B1，∴B1O⊥AC，…（7分）

连结B1M，在△B1MO中

∴

∴B1O⊥OM…（10分）

又OM∩AC=O，∴B1O⊥平面AMC； …（11分）

．（II） V=