Question

【题目】已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（ ，0），将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个 单位长度后得到函数g（x）的图象．
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式
（2）是否存在x0∈（ ），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数，若不存在，说明理由；
（3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，

∴ω= =2，

又曲线y=f（x）的一个对称中心为 ，φ∈（0，π），

故f（ ）=sin（2× +φ）=0，得φ= ，所以f（x）=cos2x．

将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，

再将y=cosx的图象向右平移 个单位长度后得到函数g（x）=cos（x﹣ ）的图象，

∴g（x）=sinx．

（2）解：当x∈（ ， ）时， ＜sinx＜ ，0＜cosx＜ ，

∴sinx＞cos2x＞sinxcos2x，

问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（ ， ）内是否有解．

设G（x）=sinx+sinxcos2x﹣2cos2x，x∈（ ， ），

则G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2﹣sinx），

∵x∈（ ， ），

∴G′（x）＞0，G（x）在（ ， ）内单调递增，

又G（ ）=﹣ ＜0，G（ ）= ＞0，且G（x）的图象连续不断，故可知函数G（x）在（ ， ）内存在唯一零点x0，即存在唯一零点x0∈（ ， ）满足题意

（3）解：依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，

当sinx=0，即x=kπ（k∈Z）时，cos2x=1，从而x=kπ（k∈Z）不是方程F（x）=0的解，

∴方程F（x）=0等价于关于x的方程a=﹣ ，x≠kπ（k∈Z）．

现研究x∈（0，π）∪（π，2π）时方程a=﹣ 的解的情况．

令h（x）=﹣ ，x∈（0，π）∪（π，2π），

则问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况．

h′（x）= ，令h′（x）=0，得x= 或x= ，

当x变换时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：

x	（0， ）		（ ，π）	（π， ）		（ ，2π）
h′（x）	+	0	﹣	﹣	0	+
h（x）	↗	1	↘	↘	﹣1	↗

当x＞0且x趋近于0时，h（x）趋向于﹣∞，

当x＜π且x趋近于π时，h（x）趋向于﹣∞，

当x＞π且x趋近于π时，h（x）趋向于+∞，

当x＜2π且x趋近于2π时，h（x）趋向于+∞，

故当a＞1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内无交点，在（π，2π）内有2个交点；

当a＜﹣1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内无交点；

当﹣1＜a＜1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内有2个交点；

由函数h（x）的周期性，可知当a≠±1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点；

又当a=1或a=﹣1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）∪（π，2π）内有3个交点，由周期性，2013=3×671，

∴依题意得n=671×2=1342．

综上，当a=1，n=1342，或a=﹣1，n=1342时，函数F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．

【解析】【（1）依题意，可求得ω=2，φ= ，利用三角函数的图象变换可求得g（x）=sinx；（2）依题意，当x∈（ ， ）时， ＜sinx＜ ，0＜cosx＜ sinx＞cos2x＞sinxcos2x，问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（ ， ）内是否有解．通过G′（x）＞0，可知G（x）在（ ， ）内单调递增，而G（ ）＜0，G（ ）＞0，从而可得答案；（3）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，方程F（x）=0等价于关于x的方程a=﹣ ，x≠kπ（k∈Z）．问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况．通过其导数，列表分析即可求得答案．
【考点精析】关于本题考查的基本求导法则和等差数列的通项公式（及其变式），需要了解若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导；通项公式：或才能得出正确答案．