Question

【题目】已知函数，.

（Ⅰ）若与在处相切，试求的表达式；

（Ⅱ）若在上是减函数，求实数的取值范围；

（Ⅲ）证明不等式：.

Answer 1

【答案】（1）; （2）；（3）见解析.

【解析】【试题分析】（１）依据题设导数计算公式及导数的几何意义建立方程求解；（２）依据题设条件构造函数运用导数建立不等式，分离参数借助基本不等式求得参数的取值范围；（３）借助（２）的结论建立递推式，然后运用叠加的方法进行分析推证：

（Ⅰ）由于与在处相切，

且，得：

又∵，∴，

∴.

（Ⅱ）在上是减函数，

∴在上恒成立.

即在上恒成立，由，，

又∵，∴得.

（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：当时：在上是减函数，

∴当时，即，

所以从而得到：.

当时：，

当时：，

当时：，

当时：，，.

上述不等式相加得：

…+

即…+.（，）