Question

【题目】某校高二八班选出甲、乙、丙三名同学参加级部组织的科学知识竞赛．在该次竞赛中只设成绩优秀和成绩良好两个等次，若某同学成绩优秀，则给予班级10分的班级积分，若成绩良好，则给予班级5分的班级积分．假设甲、乙、丙成绩为优秀的概率分别为 ， ， ，他们的竞赛成绩相互独立．
（1）求在该次竞赛中甲、乙、丙三名同学中至少有一名成绩为优秀的概率；
（2）记在该次竞赛中甲、乙、丙三名同学所得的班级积分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

【答案】
（1）解：记“甲成绩为优秀”为事件A，“乙成绩优秀”为事件B，“丙成绩优秀”为事件C，

“甲、乙、丙至少有一名成绩为优秀”为事件E，

∵事件A、B、C是相互独立事件，事件ABC与事件E是对立事件，

∴P（E）=1﹣P（ ）=1﹣ =

（2）解：ξ的所有可能取值为15，20，25，30，

P（ξ=15）=P（ ）= = ，

P（ξ=20）=P（A ）+P（ ）+P（ ）= + + = ，

P（ξ=30）=P（ABC）= = ，

∴ξ的分布列为：

ξ	15	20	25	30
P

Eξ= =

【解析】（1）记“甲成绩为优秀”为事件A，“乙成绩优秀”为事件B，“丙成绩优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名成绩为优秀”为事件E，由事件A、B、C是相互独立事件，事件ABC与事件E是对立事件，能求出在该次竞赛中甲、乙、丙三名同学中至少有一名成绩为优秀的概率．（2）ξ的所有可能取值为15，20，25，30，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解离散型随机变量及其分布列的相关知识，掌握在射击、产品检验例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．