Question

【题目】已知函数f(x)，当x，y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．当x＞0时，f(x)＞0.

(1)求证：f(x)是奇函数；

(2)若f(1)＝，试求f(x)在区间[－2,6]上的最值．

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.

【解析】试题分析:(1) 令x＝0，y＝0，可得f(0)＝0; 令y＝－x，f(x)＝－f(－x)，即命题成立.(2) 任取x1，x2∈R，且x1＜x2.∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1),由x1＜x2，可得f(x2－x1)＞0，即f(x)为增函数，进而求出端点值即函数的最值.

试题解析:

(1)证明：令x＝0，y＝0，则f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，

∴f(x)＝－f(－x)，即f(x)为奇函数．

(2)任取x1，x2∈R，且x1＜x2.∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)．

∵当x＞0时，f(x)＞0，且x1＜x2，∴f(x2－x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，∴f(x)为增函数，

∴当x＝－2时，函数有最小值，f(x)min＝f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝－1.

当x＝6时，函数有最大值，f(x)max＝f(6)＝6f(1)＝3.

点睛:本题考查函数的奇偶性以及由单调性求函数的最值,属于中档题目. 若函数在区间上单调递增，则时，有，事实上，若,则，这与矛盾，类似地，若在区间上单调递减，则当时有.