Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．
（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3；
（2）如果x∈R，使得f（x）＜2成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：若a=﹣1，f（x）≥3，

即为|x﹣1|+|x+1|≥3，

当x≤﹣1时，1﹣x﹣x﹣1≥3，即有x≤﹣ ；

当﹣1＜x＜1时，1﹣x+x+1=2≥3不成立；

当x≥1时，x﹣1+x+1=2x≥3，解得x≥ ．

综上可得，f（x）≥3的解集为（﹣∞，﹣ ]∪[ ，+∞）

（2）解：x∈R，使得f（x）＜2成立，

即有2＞f（x）min，

由函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|x﹣1﹣x+a|=|a﹣1|，

当（x﹣1）（x﹣a）≤0时，取得最小值|a﹣1|，

则|a﹣1|＜2，

即﹣2＜a﹣1＜2，

解得﹣1＜a＜3．

则实数a的取值范围为（﹣1，3）

【解析】（1）由题意可得|x﹣1|+|x+1|≥3，讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜1时，当x≥1时，去掉绝对值解不等式，最后求并集；（2）由题意可得2＞f（x）min ， 运用绝对值不等式的性质，可得f（x）的最小值，再由绝对值不等式的解法，可得a的范围．
【考点精析】掌握绝对值不等式的解法是解答本题的根本，需要知道含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．