Question

【题目】在平面直角坐标系中， 是抛物线的焦点， 是抛物线上的任意一点，当位于第一象限内时， 外接圆的圆心到抛物线准线的距离为.

（1）求抛物线的方程；

（2）过的直线交抛物线于两点，且，点为轴上一点，且，求点的横坐标的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）由抛物线的定义与圆的性质，可求出圆心到准线的距离用表示，可得值； （2）设，再由向量间关系可得坐标间关系，令直线与抛物线方程联立，利用韦达定理，可得中点坐标，求出直线的垂直平分线方程，可求得点横坐标，进一步求出其取值范围．

试题解析：根据题意，点在的垂直平分线上，

所以点到准线的距离为，

所以.

（2）设，

设直线代入到中得，

所以，

又中点，

所以直线的垂直平分线的方程为，

可得.